模拟 theta 函数系数的奇偶性

我们研究经典模拟 theta 函数系数的奇偶性。设 $g$ 是一个具有整数系数的形式幂级数，令 $c(g;n)$ 为其级数展开中 $q^n$ 的系数。若对 $n\geq 0$，$c(g;n)$ 取偶数值的概率为 $a$，则称 $g$ 具有奇偶性类型 $(a,1-a)$。我们证明，在 44 个经典模拟 theta 函数中，有 21 个属于奇偶性类型 $(1,0)$。我们进一步猜想有 19 个模拟 theta 函数属于奇偶性类型 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，4 个函数属于奇偶性类型 $(\frac{3}{4},\frac{1}{4})$。我们还对属于奇偶性类型 $(1,0)$ 的模拟 theta 函数，给出了使 $c(g;n)$ 为奇数的 $n$ 的刻画。