Thue-Morse 序列及相关序列的 Hankel 行列式演算

基于模素数计算，评估了某些自动序列 $f$ 的 Hankel 行列式。在大多数情况下，自动序列的 Hankel 行列式没有任何闭式表达式；传统方法，如 $LU$ 分解和 Jacobi 连分数，无法直接应用。我们的方法基于一个简单的思想：每个序列 $g$（其模 $p$ 等于 $f$）的 Hankel 行列式等于 $f$ 模 $p$ 的 Hankel 行列式。线索在于寻找一个具有 Hankel 行列式闭式表达式的优良序列 $g$。本文展示了几个例子，包括一个结果，即 Thue-Morse 序列的 Hankel 行列式非零，该结果最初由 Allouche, Peyrière, Wen 和 Wen 使用行列式操作证明。本方法显著缩短了后一结果的证明。我们还证明了，当定义 $\pm 1$ Thue--Morse 序列的无穷乘积中的幂 $2^n$ 被 $3^n$ 替换时，相应的 Hankel 行列式不为零。