apwenian 序列的判定准则

1998 年，Allouche、Peyri\`{e}re、Wen 与 Wen 证明了 $\{-1,1\}$ 上 Thue-Morse 序列的 Hankel 行列式 $H_n$ 对所有 $n\geq 1$ 满足 $H_n/2^{n-1}\equiv 1~(\mathrm{mod}~2)$。受此结果启发，Fu 与 Han 引入了 $\{-1,1\}$ 上的 \emph{apwenian} 序列，即其 Hankel 行列式对所有 $n\geq 1$ 满足 $H_n/2^{n-1}\equiv 1~(\mathrm{mod}~2)$ 的 $\pm 1$ 序列，并借助计算机辅助证明了一些序列是 apwenian 的。本文中，我们得到了一个易于检验的 apwenian 序列判定准则，使我们能确定所有作为常长替换不动点的 apwenian 序列。设 $f(z)$ 为此类 apwenian 序列的生成函数。我们证明对所有满足 $f(1/b)\neq 0$ 的整数 $b\ge 2$，实数 $f(1/b)$ 是超越数且其无理指数等于 $2$。此外，我们还导出了零一 apwenian 序列的判定准则，其 Hankel 行列式对所有 $n\geq 1$ 满足 $H_n\equiv 1~(\mathrm{mod}~2)$。我们发现，在所有常长替换不动点中，唯一的零一 apwenian 序列是倍周期序列。还给出了由带投影的替换给出的各类 apwenian 序列例子。进而，我们证明所有 $\{-1,1\}$ 或 $\{0,1\}$ 上的 Sturmian 序列都不是 apwenian 的。我们猜想，非恒长替换在 $\{-1,1\}$ 或 $\{0,1\}$ 上的不动点不可能是 apwenian 的。