Wasserstein 受控梯度流的 Hamilton--Jacobi 方程：粘性解的存在性
偏微分方程分析
2024-02-02 v2 概率论
摘要
本工作是始于 arXiv:2111.13258 和 arXiv:2302.06571 的一项计划的第三部分，旨在为度量空间中与受控梯度流问题相关的 Hamilton-Jacobi 方程发展一套内蕴几何适定性理论。在本文中，我们完成了在 Wasserstein 梯度流背景下的分析，其中底层能量泛函满足 McCann 条件。更确切地说，我们证明了对于一个线性受控梯度流问题，当其运行成本关于控制变量是二次的，且仅关于状态变量是连续的时，其值函数构成了相应 Hamilton-Jacobi 方程的粘性解，这里的 Hamilton-Jacobi 方程是用我们先前工作中引入的两个算子表示的，这两个算子作为当前形式 Hamiltonian 的严格上下界。这些算子的定义直接受到梯度流的演化变分不等式（EVI）表述的启发：本工作的主要创新之一是引入了受控版本的 EVI，这对于在定义候选解的受控梯度流问题中建立正则性性质、能量度量和度量界沿优化序列的性质至关重要。
引用
@article{arxiv.2401.02240,
title = {Hamilton--Jacobi equations for Wasserstein controlled gradient flows: existence of viscosity solutions},
author = {Giovanni Conforti and Richard C. Kraaij and Luca Tamanini and Daniela Tonon},
journal= {arXiv preprint arXiv:2401.02240},
year = {2024}
}