F-理论中的半超多重态与不完全/完全分解

我们考虑六维 F-理论中从 $SO(12)$ 到 $E_7$ 以及从 $E_7$ 到 $E_8$ 的 codimension-two 增强奇点的分解，其中实现这些分解的通用复结构会产生一个半超多重态（half-hypermultiplet）。增强点处的例外纤维展现出不同结构，取决于碰撞的 7-膜如何接近规范 7-膜栈，正如 Morrison 和 Taylor 在从 $SU(6)$ 到 $E_6$ 的增强情形中先前观察到的。当碰撞膜以 $O(s)$ 方式接近它们时，其中 $s$ 为沿规范 7-膜的基空间坐标，分解过程最终得到的例外纤维少于从 Kodaira 分类中直观预期的个数，且具有包含半整数交数的非 Dynkin 交矩阵。我们确认增强点处的例外纤维构成相关伪实表示正权锥的极值射线，解释了为何那里会出现半超多重态。通过改变分解过程中吹胀奇点的顺序，我们对 $SO(12)\rightarrow E_7$ 和 $E_7\rightarrow E_8$ 均在相应盒图（box graphs）的每隔一行上获得交图。我们通过考察例外曲线如何因后续吹胀过程而在图表上被抬起，详细推导了奇点增强点处例外纤维的交图。当碰撞膜以 $O(s^2)$ 方式接近膜栈时，我们在增强点获得额外的锥形奇点（conifold singularity），如先前所发现，其补全了增强群的完整 Dynkin 图。