二维 Dirac 场的 Hadamard 重整化

将 Hadamard 重整化程序应用于二维洛伦兹时空上的自由有质量 Dirac 场 $\psi$。当 $x$ 与 $x'$ 沿连接它们的唯一测地线趋近时,这给出了 Hadamard 双旋量 $G^{(1)}(x, x') = \frac{1}{2} \left\langle \left[ \bar{\psi}(x'), \psi(x) \right] \right\rangle$ 中与态无关的发散项。在极限内减去这些发散项,赋予 $G^{(1)}(x, x')$ 以及任何以其表示的算符在重合点 $x' = x$ 处的有限值。在此极限下,得到的是二次算符而非双旋量。因此该程序被用于赋予各种二次算符(包括应力-能量张量)有限值。结果以协变形式、在纯空间分离下的共形平坦坐标图以及 Minkowski 度规中给出。这些项可直接从 $G^{(1)}(x, x')$ 的组合中减去——这些组合本身例如可由数值模拟获得——以得到在连续统中定义的有限期望值。