$H^1$ 与二进 $H^1$
经典分析与常微分方程
2010-07-08 v2
摘要
本文给出了一个简单证明，即函数在所有二进格上的二进 范数的平均值等价于 范数。我们提出的证明适用于单参数和多参数 Hardy 空间。此类结果已知。第一个结果（针对单参数 Hardy 空间）归功于 Burgess Davis（1980 年）。此外，通过对偶性，此类结果等价于 Garnett-Jones（1982 年）针对单参数情况以及 Pipher-Ward（2008 年）针对双参数情况证明的“来自二进 BMO 的 BMO”陈述。虽然本文将这些结果推广到了多参数情形，但这并非其主要目标。本文的目的是提出一种适用于单参数和多参数情况的简单证明方法。将平方函数视为 Calderón-Zygmund 算子的主要思想在调和分析中很常见；本文所依据的主要观察是，可以以这种方式处理随机二进平方函数。之后，所有结论都通过使用 Hilbert 空间值设定中关于 Calderón-Zygmund 算子的标准且众所周知的结果得到证明。作为额外收获，我们得到了多参数情况下（通过对偶性等价的）包含关系 和 的一个简单证明。注意，与单参数情况不同，一般情况下的包含关系远非平凡。
引用
@article{arxiv.0809.3288,
title = {$H^1$ and dyadic $H^1$},
author = {Sergei Treil},
journal= {arXiv preprint arXiv:0809.3288},
year = {2010}
}
备注
14 pages. In the new version a minor error was corrected, see p. 8, reasoning before Section 1.3. The correct smoothness exponent in the averaged square function is 1/2, not N/2 as it was stated in the earlier version