正则划分的增长 4：强正则性与对划分

本文研究了由 Frankl、Gowers、Kohayakawa、Nagle、R\"{o}dl、Skokan 和 Schacht 发展的 $3$-均匀超图正则性强形式的界。这种类型的正则分解涉及两个结构组件：顶点集上的划分和顶点对上的划分。此类分解的正则性由两个参数衡量：一个 $\epsilon_1>0$ 和一个函数 $\epsilon_2:\mathbb{N}\rightarrow (0,1]$。对于 $3$-均匀超图的每个遗传性质 $\mathcal{H}$，我们关联两个相应的增长函数：用于顶点组件大小的 $T_{\mathcal{H}}(\epsilon_1,\epsilon_2)$，以及用于对组件大小的 $L_{\mathcal{H}}(\epsilon_1,\epsilon_2)$。理解此类函数渐近增长的问题在一篇配套论文中提出，该论文还证明了关于 $T_{\mathcal{H}}$ 的若干结果。在本文中，我们研究了 $L_{\mathcal{H}}$ 的可能渐近行为。我们证明任何此类函数要么是常数，要么以多项式为上下界，或者以指数为下界。所有结果仅要求 $\epsilon_2$ 具有合理的增长率（即多项式）。