在$e^{r^\alpha}$范围内的增长行为

对于左邻域$[\alpha_0,1]$中1附近的每个$\alpha \leq \beta$，构造了一个群$G(\alpha,\beta)$，其增长函数满足$\limsup \frac{\log \log b_{G(\alpha,\beta)}(r)}{\log r}=\alpha$和$\liminf \frac{\log \log b_{G(\alpha,\beta)}(r)}{\log r}=\beta$。当$\alpha=\beta$时，这提供了具有严格可比增长函数的群的显式不可数集合。另一方面，$\alpha < \beta$情况下的振荡解释了存在增长函数不可比群的原因。与振荡频率相关的一些周期指数提供了新的群不变量。