平面曲线 theta-特征模空间的 Picard 群

我们计算平面曲线 (不必为光滑) 的 theta-特征模空间 $\Theta_{\mathbb{P}^2}(d)$ 的 Picard 群。我们证明当 $d\geq 6$ 时，该模空间奇偶分量的 Picard 群由 determinant 束 ${\cal{D}}$ 和在几何支持映射下的镜像 ${\cal{L}}$ 生成，其中 ${\cal{L}}$ 是 {\cal{O}_{\mathbb{P}^2}(1) 的倒数, ${\mathbb{P}^2}$ 为 degree $d$ 曲线的模空间。对于 $1\leq d \leq 4$, 该群仅由 ${\cal{L}}$ 生成, 因为 determinant 束在这些情况下是平凡的。在 Weil 域 $Cl$ 中, determinant 束具有根: Pfaffian 束 ${\cal{P}}$。此外, 对于偶数 $d\geq 4$, ${\cal{L}}$ 也在 $Cl$ 中具有根。如果 $d=5$, Pfaffian 束可延拓为可逆束, Picard 群由 ${\cal{L}}$ 和 ${\cal{P}}$ 生成。因此, $\Theta_{\mathbb{P}^2}(d)$ 的奇偶分量当且仅当 $d=1,2,3$ 或 $d=5$ 时是局部唯一紧致的。我们也得到奇偶分量的类似结论。随后我们研究是否存在在 $U$ 的开子域上定义的普适族, 其中 $U$ 为 theta-特征的开子域, 其下层束为稳定的。我们证明对于偶数 $d$, 不存在此类族, 而对于奇数 $d$, 这种族存在, 不过不能定义在 $U$ 整个上, 只能在 Zariski 拓扑下局部定义。