Grossberg-Karshon 扭立方体与犹豫行走避免

设 $G$ 为复半单单连通线性代数群。设 $\lambda$ 为 $G$ 的一个支配权，$\mathcal{I} = (i_1, i_2, \ldots, i_n)$ 为 $G$ 的 Weyl 群中元素 $w = s_{i_1} s_{i_2} \cdots s_{i_n}$ 的一个字分解，其中 $s_i$ 为简单反射。在 20 世纪 90 年代，Grossberg 和 Karshon 引入了一个与 $\lambda$ 和 $\mathcal{I}$ 相关联的虚拟格点多面体，他们称之为扭立方体（twisted cube），其格点编码了 $G$ 的表示的特征标（根据密度函数带符号计数）。在最近的工作中，第一作者与 Jihyeon Yang 证明了：当且仅当由 $\lambda$ 和 $\mathcal{I}$ 的数据构造的环面簇上的某个环面不变除子是基点自由（basepoint-free）时，Grossberg-Karshon 扭立方体是非扭的（即密度函数的支集是一个闭凸多面体）。这对应于 Grossberg-Karshon 特征标公式成为真正组合公式的情形，即不存在带负号的项。在本注记中，我们将这一环面几何条件转化为 $\mathcal{I}$ 和 $\lambda$ 的组合学描述。更确切地说，我们引入了犹豫 $\lambda$-行走（hesitant $\lambda$-walks）的概念，并证明了相关的 Grossberg-Karshon 扭立方体是非扭的，当且仅当 $\mathcal{I}$ 是犹豫-$\lambda$-行走避免的。