点云上 Wasserstein 空间的 Gromov-Hausdorff 极限

我们考虑均匀分布在平坦环面 $\mathbb{T}^d : = \mathbb{R}^d / \mathbb{Z}^d$ 上的点云 $X_n := \{ x_1, \dots, x_n \}$，并通过连接彼此距离在 $\varepsilon$ 以内的点在该点云上构造一个几何图。令 $\mathcal{P}(X_n)$ 为 $X_n$ 上的概率测度空间，并赋予其离散 Wasserstein 距离 $W_n$，该距离由 Chow 等人、Maas 和 Mielke 针对一般有限马尔可夫链分别引入。我们证明，只要 $\varepsilon= \varepsilon_n$ 趋于零的速度慢于依赖于 $X_n$ 均匀性程度的显式速率，则空间 $(\mathcal{P}(X_n), W_n)$ 在 Gromov-Hausdorff 意义下收敛于赋予 Wasserstein 距离的 $\mathbb{T}^d$ 上的概率测度空间。本文的分析是研究定义在随机点云上的演化方程在点数趋于无穷时的稳定性的第一步。