图参数、拉姆齐理论与遗传性质的速度

遗传性质 $P$ 的速度是指 $P$ 中 $n$ 顶点标号图的数量 $P_n$。已知 $P_n$ 的增长率构成离散层级，其速度会发生跳跃，特别是从常数到多项式、从多项式到指数、以及从指数到阶乘。当熵 $\lim_{n\to\infty}\frac{\log_2 P_n}{\binom{n}{2}}$ 从 0 变为非零值时，会发生另一次跳跃。在本文中，针对每一次跳跃，我们识别出导致该跳跃的图参数，即我们证明速度的跳跃 coincide 于相应参数从有限到无限的跳跃。特别地，我们证明了遗传性质 $P$ 的速度是次阶乘的，当且仅当 $P$ 中图的邻域多样性 (neighbourhood diversity) 有常数界；且遗传性质 $P$ 的熵为 0，当且仅当 $P$ 中图的 VC 维 (VC-dimension) 有常数界。所有结果均通过拉姆齐型论证获得。