格雷厄姆·希格曼的 PORC 定理

格雷厄姆·希格曼于 1960 年发表了两篇重要论文。在第一篇中，他证明了对于任意正整数 $n$，$p^{n}$ 阶群的个数以 $p$ 的一个多项式为界，并提出了关于给出 $p^{n}$ 阶群个数的函数 $f(p^{n})$ 之形式的著名 PORC 猜想。在这两篇中的第二篇里，他证明了给出 $p^{n}$ 阶 $p$-类二群个数的函数是 PORC 的。他将此结果作为关于被一般线性群作用的向量空间的一个非常一般性结果的推论而建立。该定理陈述需占一页多，且极为一般，以至于难以看清其内涵。希格曼对这一一般定理的证明包含若干新想法且颇难追随。然而近几年来，若干作者发展并实现了在其一般定理的特殊情形下计算希格曼 PORC 公式的算法。这些算法揭示了希格曼证明中的关键点，并简化了证明的若干部分。在本注记中，我依据这些近期进展给出希格曼一般定理的一个证明。