脉动 Laplacian 动力学弛豫：源自生物网络模型的梯度流

我们研究了一个用于生物交通网络形成的数值偏微分方程模型。我们从基于等边三角网格的离散图基模型开始，严格推导在网络细化过程中的相应连续能量函数作为 $\Gamma$ 极限，并建立全局最小值的存在性。该模型具有梯度流结构，其稳态与 $p$ Laplacian 方程的解相吻合。基于这一联系，我们实现了有限元离散化，提出一种新颖的动力学弛豫方案，该方案在制造测试中实现最优收敛率，并在均匀网格细化下表现出网格无关性能——时间步数、非线性迭代次数和线性求解次数保持稳定。数值实验表明，该标量模型既能再现生物学上相关的网络模式，又可作为求解 $p$ Laplacian 方程的高效计算弛豫策略，尤其适用于大指数 $p$。