循环箭图 Hecke 代数的分次维数与单项基

本文给出与任意可对称化 Cartan 矩阵 $A=(a_{ij})_{i,j}\in I$ 相关的循环箭图 Hecke 代数 $R^\Lambda(\beta)$ 的分次维数的闭公式，其中 $\Lambda\in P^+$ 且 $\beta\in Q_n^+$。作为应用，我们得到了 KLR 幂等元 $e(\nu)$（对任意 $\nu\in I^\beta$）在循环箭图 Hecke 代数 $R^\Lambda(\beta)$ 中非零的一些充要条件。我们证明了若干层级约化结果，将 $\dim R^\Lambda(\beta)$ 分解为一些 $\dim R^{\Lambda^i}(\beta_i)$ 乘积之和，其中 $\Lambda=\sum_i\Lambda^i$ 且 $\beta=\sum_{i}\beta_i$，$\Lambda^i\in P^+, \beta^i\in Q^+$。我们为 $R^\Lambda(\beta)$ 的子空间 $e(\widetilde{\nu})R^\Lambda(\beta)e(\mu)$ 构造了若干显式单项基，其中 $\mu\in I^\beta$ 任意且 $\widetilde{\nu}\in I^\beta$ 为某一特定 $n$-元组（见第 4 节）。最后，我们利用分次维数公式给出一些例子，表明 $R^\Lambda(n)$ 一般在其自然嵌入子代数 $R^\Lambda(m)$（$m<n$）上不是分次自由的。