实谱的 Gorenstein 对偶性

继 Hu 和 Kriz 之后，我们研究了 $C_2$-谱 $BP\mathbb{R}\langle n \rangle$ 和 $E\mathbb{R}(n)$，它们细化了通常的截断 Brown-Peterson 谱和 Johnson-Wilson 谱。特别地，我们证明了它们在带有表示分级平移的情况下满足 Gorenstein 对偶性，并确定了它们的 Anderson 对偶。我们还计算了在 $n=1$ 和 $2$ 情况下相关的局部上同调谱序列。