Hölder 连续密度的拟合优度检验：精确局部极小极大速率

我们考虑 $\mathbb{R}^d$ 上 Hölder 平滑密度的拟合优度检验问题：给定具有未知密度 $p$ 的 $n$ 个独立同分布观测值和已知密度 $p_0$，我们研究 $\rho$ 应该多大才能以高概率区分 $p=p_0$ 的情况与所有 Hölder 平滑密度 $p$（满足 $\|p-p_0\|_t \geq \rho$，其中 $t \in [1,2]$）的复合备择假设。假设密度定义在 $\mathbb{R}^d$ 上，且 Hölder 平滑参数 $\alpha>0$。在本文中，我们解决了 $\alpha \leq 1$ 的情况，并使用对密度的额外技术限制处理了 $\alpha>1$ 的情况。我们确定了检验的局部极小极大速率的匹配上界和下界，并以 $p_0$ 显式给出。我们提出了新的检验统计量，我们认为这具有独立的意义。我们还建立了显式截断值 $u_B$ 的首个定义，使我们能够将 $\mathbb{R}^d$ 分为主体部分（定义为 $\mathbb{R}^d$ 中 $p_0$ 仅取大于或等于 $u_B$ 的值的子集）和尾部部分（定义为主体的补集），每部分对检验的局部极小极大速率有根本不同的贡献。