非光滑控制系统的Goh与Legendre-Clebsch条件

最优控制问题极小元的高阶必要条件通常针对动力学关于状态变量至少连续可微的系统获得。此处，利用F. Rampazzo与H.J. Sussmann在《Set-valued differentials and a nonsmooth version of Chow-Rashevski's theorem》中引入、并由E. Feleqi与F. Rampazzo在《Iterated Lie brackets for nonsmooth vector fields》中推广的集值李括号概念，我们针对具有Lipschitz连续动力学的仿射控制体系获得了Goh与Legendre-Clebsch型条件。为同时处理伴随方程与类李括号变分的光滑性缺失，我们利用M. Palladino与F. Rampazzo在《A geometrically based criterion to avoid infimum-gaps in Optimal Control》中引入的拟微分商概念。最后我们给出一个例子，其中所建立的高阶条件能够排除满足一阶最大值原理的控制的最优性。