仅在一个方向有耗散的三维不可压缩MHD系统的全局解

三维不可压缩Navier-Stokes方程在$\mathbb R^3$中仅具有单向耗散时的小数据全局适定性仍是一个悬而未决的开放问题。仅在一个方向（例如$\partial_1^2 u$）的耗散不足以控制整个空间$\mathbb R^3$中的非线性。Paicu与Zhang的美妙工作\cite{ZHANG1}通过观察一个关键的Poincar\'{e}型不等式，解决了空间域在$x_1$方向有界的情形。受此Navier-Stokes开放问题及关于背景磁场稳定效应的实验观察的启发，本文旨在理解特殊三维磁流体力学（MHD）系统在背景磁场附近的全局适定性与稳定性。空间域为$\mathbb R^3$，该MHD系统中的速度服从仅具单向耗散的三维Navier-Stokes方程。由于没有Poincar\'{e}型不等式，该问题看似不可能解决。通过揭示实验所观察稳定效应的数学机制，并引入若干创新技术以处理导数损失困难，我们得以控制Navier-Stokes非线性并解决所期望的全局适定性与稳定性问题。