三维欧拉方程的全局、局部与稠密非混合性

我们证明三维欧拉方程流的一个具有局部性质的非混合性：在“典型”定常解的任意邻域内存在初始条件的泛型集合，使得相应的欧拉流永远不会进入原定常解的一个邻域。更精确地，我们确立在 $\mathbb S^3$ 上存在欧拉方程的定常解 $u_0$ 以及任意接近 $u_0$ 的无散度向量场 $v_0$，其（非定常）欧拉流演化不能在 $C^k$ Hölder 范数（$k>10$ 非整数）下收敛到 $u_0$ 的一个小（但先验固定）$C^k$ 邻域中的任何定常态。此类初始条件 $v_0$ 的集合在 $u_0$ 的邻域内是开且稠密的。类似（但较弱）的命题对 $\mathbb T^3$ 上的欧拉流也成立。证明该结果的两个本质要素是：对某些非退化定常解附近所有定常态的几何描述，以及从椭圆轨道生成打结不变环面的 KAM 型论证。