角动量为零的三体运动的整体几何, I

遵循 Jacobi 对 Lagrange 最小作用量原理的几何化,经典力学的轨迹可被刻画为构型空间 M 上关于某合适度量的测地线,该度量是运动学度量被因子 (U+h) 共形修正而得,其中 U 与 h 分别为势函数与总能量。在角动量为零的三体运动这一特例中,此类轨迹的整体几何可约化为其模曲线(记录大小与形状变化)在定向 m-三角形模空间中的整体几何,该模空间的运动学度量实为一个以形状空间 M*(半径为 1/2 的 2-球面)为底的黎曼锥。本文中,我们证明当 h 非零时此类运动的模曲线由其形状曲线(仅记录形状变化)唯一确定,而在 h=0 的特例中其模曲线除缩放外唯一确定。因此,对此类运动整体几何的研究可进一步约化为对形状曲线的研究,形状曲线是 2-球面上由三阶 ODE 刻画的时间参数化曲线(参见定理 3.9)。此外,这些曲线具有两个显著性质,即参数化的唯一性与单调性(参见定理 4.6 与定理 5.8),它们构成了对其整体几何进行系统研究的坚实基础,并自然引出了一些相关问题,如第 7 节简要讨论者。