平面三体问题几何方法中的曲率与测地线不稳定性

Maupertuis 原理允许我们将经典轨迹视为位形空间上 Jacobi-Maupertuis (JM) 度量的重新参数化测地线。我们研究了具有牛顿势和吸引反平方势的平面三体问题的测地线重构。相关的 JM 度量除了在零能量 E 的反平方势下具有标度等距外，还具有平移和旋转等距。全位形空间 $C^3$（排除碰撞点）上的测地流导致其在黎曼商空间上的对应流：质心位形空间 $C^2$ 和形状空间 $R^3$（以及当 E = 0 时反平方势下的 $S^3$ 和形状球面 $S^2$）。相应的黎曼淹没在特别适应于这些等距的“Hopf”坐标中得到了明确描述。对于受反平方势作用的等质量情况，Montgomery 证明了形状球面上的零能量“裤衩”JM 度量是测地完备的，并且除了在 Lagrange 点外具有负高斯曲率。我们将其扩展为证明在去除碰撞点后的 $C^2, R^3$ 和 $S^3$ 上处处标量曲率的有界性和严格负性。截面曲率也被发现大部分为负，表明存在广泛的测地线不稳定性。我们获得了碰撞附近的渐近度量，表明标量曲率具有有限极限，并观察到测地线重构对于任意质量和允许能量“正则化”了 $C^2$ 及其商空间上的两体和三体碰撞。对于等质量和 E=0 的牛顿势，我们发现 $C^2$ 上的标量曲率严格为负，尽管在 $R^3$ 上它可能具有任意符号。然而，与反平方势不同，测地线在有限测地时间内可能会在碰撞处遇到曲率奇点。