精确辛扭转映射的弱 KAM 解的全局性态

我们研究了由 $c\in H^1(\mathbb T,\mathbb R)$ 参数化的弱 KAM 解 $u_c(x,t)$ 的若干全局性态。对于精确辛扭转映射的悬浮哈密顿量 $H(x,p,t)$,我们可以找到一族由 $c(\sigma)\in H^1(\mathbb T,\mathbb R)$ 参数化的弱 KAM 解 $u_c(x,t)$,其中 $c(\sigma)$ 连续且单调,并且 $$\partial_tu_c+H(x,\partial_x u_c+c,t)=\alpha(c),\quad \text{a.e.\ } (x,t)\in\mathbb T^2,$$ 使得弱 KAM 解序列 $\{u_c\}_{c\in H^1(\mathbb T,\mathbb R)}$ 关于参数 $\sigma\in \mathbb{R}$ 是 $1/2-$Hölder 连续的。此外,对于每条求解 $$\left\{ \begin{aligned} &\dot{x}(s)\in \text{co} \Big[\partial_pH\Big(x(s),c+D^+u_c\big(x(s),s+t\big),s+t\Big)\Big], & \\ &x(0)=x_0,\quad (x_0,t)\in\mathbb T^2,& \end{aligned} \right.$$ 的广义特征线(无论正则或奇异),我们用唯一确定的旋转数 $\omega(c)\in H_1(\mathbb T,\mathbb R)$ 来刻画它。这一性质导致了相空间中的某种拓扑阻碍,并引起轨道的局部传递现象。此外,我们讨论了这一结论对高维情形的推广。