紧黎曼流形上的GJMS型算子：最佳常数与Coron型解

本文研究紧黎曼流形上涉及临界Sobolev指数的多调和算子非线性椭圆问题解的存在性。我们首先证明流形上Sobolev嵌入的最佳常数可任意接近欧氏最佳常数，并由此推导当能量泛函低于一量化阈值时极小元存在。接着，若极小解不存在，则通过Coron拓扑方法得到高能解。为执行此拓扑论证，我们克服了处理黎曼流形上多调和算子及适应Lions集中紧致引理的困难。与Coron在$\mathbb{R}^{n}$中有界域上的原始论证不同，我们需要做的不仅仅是从流形$M$中切掉一个小球。事实上，我们的拓扑假设——以$p \in M$为中心的小球面在$M\backslash \{ p \}$中不可缩为一点——是必要的，正如标准球情形所示仅切掉小球是不够的。