格点 Aubry-Mather 理论中的幽灵圈

单调格点递推关系，如 Frenkel-Kontorova 格点，出现在哈密顿格点力学中，作为铁磁性模型和椭圆偏微分方程离散化。数学上，它们是单调扭转映射的多维对应物。它们通常允许变分结构，因此解是形式作用泛函的驻点。经典 Aubry-Mather 理论确立了任意旋转向量的大量解的存在性。对于无理旋转向量，这就是著名的 Aubry-Mather 集。它由全局极小化子组成，并可能存在间隙。在本文中，我们研究形式作用泛函的梯度流，并证明每个 Aubry-Mather 集都可以由一个连续的梯度流不变族——即所谓的“幽灵圈”——进行插值。幽灵圈的存在性首先对有理旋转向量和 Morse 作用泛函得到证明。主要技术结果是一个关于幽灵圈的紧性定理，基于梯度流的抛物 Harnack 不等式，该定理蕴含了任意旋转向量和任意作用下的幽灵圈的存在性。作为推论，我们可以给出一个简单证明：当 Aubry-Mather 集有间隙时，该间隙必须由极小化子参数化，或者包含一个非极小化解。