弱耗散系统中环面渐近展开的Gevrey估计

我们考虑一类解析辛映射族在环面上的奇摄动，该映射族拥有一个KAM环面。摄动引入耗散并含有一个可调参数。通过选择该可调参数，可以确保环面在摄动下持续存在。此类模型在天体力学中很常见。在场论中，该可调参数称为抵消项（counterterm），而在天体力学中称为漂移（drift）。已知对于拟周期解和抵消项均存在按摄动参数的幂次的正式展开。我们证明拟周期解和抵消项的渐近展开满足Gevrey估计。即展开的第$n$项被$n!$的幂所界。Gevrey类（即$n!$的幂次）仅依赖于频率的丢番图条件和摩擦系数在摄动参数幂次中的阶数。我们引入的证明方法可能超越此处所考虑的问题而具有意义。我们在幂展开空间中考虑一种修正的牛顿法。正如KAM理论中惯例，该方法的每一步在更小的区域中估计。与KAM结果不同，我们控制牛顿法的区域收缩得非常快，且牛顿法不能证明解是解析的。另一方面，通过仔细考察该过程，我们可以获得展开系数的估计并断定级数为Gevrey。