Ising 持续问题与通用的 Bonnet-Manin Painlevé VI 分布的几何

我们确定了一个非马尔可夫随机过程的完整持续概率分布，其动机来自相互作用自旋系统及相关系统中的首次穿越问题。我们证明该分布由一个特殊的 Painlevé VI 系统控制，该系统源自与可积 sech 核 $K_{\mathrm{sech}}=1/(2 \pi \cosh[(x-y)/2])$ 相关的精确 Fredholm Pfaffian 结构。Derrida、Hakim 和 Pasquier 最初获得的通用持续指数被恢复为一个渐近可观测量，并获得了自然的几何解释。在平稳标度 regime 中，持续概率可精确分解为可积 sech 核的偶数和奇数 Fredholm 行列式的 Pfaffian 分解。这些行列式由一个二阶非线性常微分方程的唯一全局解控制，该解被识别为一个特定的 Painlevé VI 方程。对应的 Painlevé VI 联络问题将持续指数确定为无穷远处的极限值。我们进一步证明，控制持续的 Painlevé VI 系统具有直接的几何解释：相关解与 $\mathbb R^3$ 中浸入的 Bonnet 曲面族的平均曲率重合。这类曲面之间的折叠变换选出了具有 Manin 系数 $[0,0,0,0]$ 的 Painlevé VI 方程，该方程特别控制对称 Ising 情况下的通用持续分布。在此框架中，持续指数被识别为相关曲面的渐近平均曲率。