Mutation-Infinite Quivers的C向量与C矩阵几何

fork 是一类由 M. Warkentin 引入的图，每一个连通的mutation-infinite quiver 都与 infinitely many forks mutation 等价。设 Q 为一个具有 n 个顶点的 fork，设 w 为一个保持 fork 的mutation 序列。我们证明，由 w 获得的每一个 c 向量都是形如 $$\sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{1\leq i<j\leq n} \pm q_{ij} x_i x_j =1,$$ 的二次方程的解，其中 q_{ij} 是 Q 中顶点 i 和 j 之间的箭头数。相同的证明技术还表明，当 Q 为秩 3 的mutation 循环图时，Q 的每一个 c 向量都是形如同一形式的二次方程的解。