秩为 3 的变异循环箭图 g-向量的一个意外性质

设 Q 是一个秩为 3 的突变循环箭图。已知 Q 的每个 c-向量都是如下形式二次方程的解：$$\sum_{i=1}^3 x_i^2 + \sum_{1\leq i<j\leq 3} \pm q_{ij} x_i x_j =1,$$ 其中 q_{ij} 是 Q 中顶点 i 和 j 之间的箭头数。对于任何无环箭图的 c-向量，类似的性质也成立。在本文中，我们证明 Q 的 g-向量具有一个意外的性质。更准确地说，Q 的每个 g-向量都是如下形式二次方程的解：$$\sum_{i=1}^3 x_i^2 + \sum_{1\leq i<j\leq 3} p_{ij} x_i x_j =1,$$ 其中 p_{ij} 是通过突变 Q 得到的另一个箭图 P 中顶点 i 和 j 之间的箭头数。