一种新型双曲型度量的几何性质

在度量空间$(X,d)$中引入新的距离函数$\tilde{S}_{G,c}$，定义为\n\begin{align*}\n&\tilde{S}_{G,c}(x,y)=\log{\left(1+\frac{cd(x,y)}{\sqrt{1+d(x)}\sqrt{1+d(y)}}\right)}\end{align*}\n其中$x$, $y\in X$，且$c$为任意正实数。我们发现当$c\ge 2$时，$\tilde{S}_{G,c}$为度量。一般情况下，条件$c\geq2$不可进一步提高。在本文中，我们研究了度量$\tilde{S}_{G,c}$的一些几何性质，包括该度量与三角比度量之间的比较不等式以及若干度量球的包含关系。我们证明了在度量$\tilde{S}_{G,c}$下，仿射映射的准共形性以及单位球$\tilde{S}_{\partial\mathbb{B}^n,c}$在莫比乌斯变换下的度量失真性质。