曲线上的泛型及其应用：伪可积台球、Eaton透镜与间隙分布

本文中，我们证明了仿射格空间与平移曲面模空间中某些曲线上的Birkhoff与Oseledets泛型结果。我们还证明了这些结果在动力台球、数学物理与数论中的应用。在仿射格空间$ASL_2(\mathbb{R})/ASL_2( \mathbb{Z})$中，我们证明了具有某些非退化假设的曲线上几乎每一点对于测地流是Birkhoff泛型的。这意味着平移曲面层$\mathcal{H}(1,1)$内环面分支覆盖轨迹中某些曲线的几乎处处泛型。对于这些曲线（以及更一般地，由horocycle弧良好逼近且满足几乎处处Birkhoff泛型的曲线），我们还证明了几乎每一点对于Kontsevitch-Zorich上循环是Oseledets泛型的，推广了Chaika与Eskin近期的结果。作为应用，我们首先考虑一类伪可积台球，即带屏障的椭圆台球，近期由Dragovic与Radnovic探讨过，并证明对几乎所有参数，台球流在其被困的相空间区域内是唯一遍历的。我们随后考虑放置于格点顶点上的任意Eaton逆反射透镜周期阵列，并证明在几乎所有方向上光线各自被限制于有限宽度的带中。这推广了Fraczek与Schmoll近期发现的现象，该现象此前仅能对随机周期构型证明。最后，还获得了关于正整数平方根序列小数部分的间隙分布结果，推广了Elkies与McMullen先前的工作。