关于高秩锥强单调流的一般性态

我们考虑 $\mathbb{R}^n$ 中的 $C^{1,\alpha}$ 光滑流，它关于秩 $k$ 的锥 $C$ 是“强单调”的，该锥为一个闭集，包含一个 $k$ 维线性子空间且不包含更高维的线性子空间。我们证明，具有来自相空间开且稠密子集的初始数据的轨道要么伪有序，要么收敛到平衡点。这涵盖了 $k=1$ 时著名的 Hirsch 一般收敛定理，$k=2$ 时给出一般性 Poincaré-Bendixson 定理，并且对任意维数 $k$ 均成立。我们的方法涉及使用 $k$ 阶指数分离及相关的 $k$ 阶 Lyapunov 指数（当 $k=1$ 时退化为第一 Lyapunov 指数）的遍历论证。