推广德国坦克问题

德国坦克问题可以追溯到第二次世界大战，当时盟军使用统计方法，根据战斗后观察到的序列号来估计敌人生产或投入战场的坦克数量。假设坦克从1开始连续编号，如果我们从总共N辆坦克中观察到k辆坦克，且观察到的最大坦克编号为m，那么N的最佳估计是m(1 + 1/k) - 1。我们探索了许多推广。我们研究了一维离散和连续情况。我们探索了不同的估计量，例如第L大的坦克，并应用了投资组合理论的动机，研究了加权平均；然而，原始公式是最好的。我们将问题推广到二维，用点对代替点，研究了离散和连续的方形和圆形变体。这里存在来自曲率问题以及并非每个数字都可表示为两个平方数之和的复杂性。我们经常关注大N极限。对于离散和连续方形，我们测试了各种统计量，发现最大的观测分量表现最好；两种情况的缩放因子都是(2k+1)/2k。离散情况尤其复杂，因为我们不得不使用近似公式来给出圆内格点的数量。有趣的是，不同情况的缩放因子是不同的。最后，我们将问题推广到L维方形和圆形。离散和连续方形被证明与二维方形问题类似。然而，对于L维圆形，我们必须使用L-球的体积公式，并且必须近似其中的格点数。离散圆形的公式特别有趣，因为公式中没有L依赖性。