论离散 Witsenhausen 问题的不可近似性

我们考虑 Witsenhausen 问题的一个离散版本，其中所有随机变量均有界且取整数值。我们的主要目标是，在给定初始状态与第二阶段噪声的分布作为问题输入的情况下，理解计算良好策略的复杂性。继 Papadimitriou 和 Tsitsiklis [1] 证明了计算最优解是 NP 完全的之后，我们构造了一系列问题实例，其初始状态在大小为 $n$ 的集合上均匀分布，噪声在大小至多为 $n^2$ 的集合上均匀分布，使得对于任意 $\epsilon > 0$，寻找一个代价为最优代价的乘法 $n^{2-\epsilon}$ 近似的策略是 NP 困难的。