与其补图等能量的广义 Paley 图

我们考虑广义 Paley 图 $\Gamma(k,q)$、广义 Paley 和图 $\Gamma^+(k,q)$，以及它们对应的补图 $\bar \Gamma(k,q)$ 和 $\bar \Gamma^+(k,q)$，其中 $k=3,4$。记 $\Gamma = \Gamma^*(k,q)$ 为 $\Gamma(k,q)$ 或 $\Gamma^+(k,q)$ 之一。我们计算了 $\Gamma(3,q)$ 和 $\Gamma(4,q)$ 的谱，并由此也得到了 $\Gamma^+(3,q)$ 和 $\Gamma^+(4,q)$ 的谱。然后我们证明，在非半本原情形下，在某些算术条件下，$\Gamma(3,p^{3\ell})$ 和 $\Gamma(4,p^{4\ell})$（其中 $p$ 为素数）的谱可分别由图 $\Gamma(3,p)$ 和 $\Gamma(4,p)$ 的谱对任意 $\ell \in \mathbb{N}$ 递归得到。利用这些图的谱，我们给出了 $\Gamma^*(k,q)$ 的谱满足何种充要条件时，$\Gamma^*(k,q)$ 与 $\bar \Gamma^*(k,q)$ 对 $k=3,4$ 是等能量的。在先前的工作中，我们已分类了所有二部正则图 $\Gamma_{bip}$ 与所有强正则图 $\Gamma_{srg}$，它们是补等能量的，即 $\{\Gamma_{bip}, \bar{\Gamma}_{bip}\}$ 与 $\{\Gamma_{srg}, \bar{\Gamma}_{srg}\}$ 是等能量图对。这里我们构造了无限多对等能量非同谱正则图 $\{\Gamma, \bar \Gamma\}$，它们既非二部也非强正则。