$(q^\ell+1)$ 次幂的广义 Paley 图谱及其应用

我们考虑有限域上一类特殊的广义 Paley 图，即以 $\mathbb{F}_{q^m}$ 为顶点集、以 $\mathbb{F}_{q^m}$ 中非零 $(q^\ell+1)$ 次幂为连接集的 Cayley 图，以及它们的补图。我们显式计算了这些图的谱与能量。结果表明，除平凡例外，这些图是简单的、连通的、非二部的、整的且强正则的，属于伪或负拉丁方型。利用谱信息我们计算了这些图的若干不变量。我们给出了无穷多对等能量非同谱图。作为应用，一方面我们解决了 $\mathbb{F}_q^m$ 上关于指数 $q^\ell+1$ 的 Waring 问题，对每个 $q$ 以及无穷多个 $\ell$ 和 $m$ 的值。我们得到 Waring 数 $g(q^\ell+1,q^m)=1$ 或 $2$，取决于 $m$ 和 $\ell$，从而解决一些公开情形。另一方面，我们在所有特征下构造了 Ramanujan 图的无穷塔。最后，我们给出这些图的 Ihara zeta 函数。