Cohen-Macaulay 局部环与分次环的广义 Loewy 长度

我们推广了Ding关于一维Cohen-Macaulay局部环 $(R,\mathfrak{m},k)$ 的广义Loewy长度 $\text{g}\ell\ell(R)$ 与指标之间关系的定理。Ding证明：若 $R$ 为Gorenstein、关联分次环为Cohen-Macaulay且 $k$ 无限，则 $R$ 的广义Loewy长度与指标相等。但若 $k$ 有限，等式未必成立。我们证明：若一维Cohen-Macaulay局部环的指标有限，且关联分次环具有次数为 $t$ 的齐次非除零元，则 $\text{g}\ell\ell(R) \leq \text{index}(R)+t-1$。接着我们证明：若 $R$ 是一维超曲面环，且存在达到广义Loewy长度的见证元在关联分次环上诱导正则初始形式，则广义Loewy长度取该上界。随后我们计算了有限域上若干一维超曲面环族的广义Loewy长度。最后，我们研究广义Loewy长度的分次版本，并确定其在数值半群环上的取值。