genus 为 4、5、6 且雅各比完全可分解的广义 Howe 曲线

超特别曲线在数论和代数几何中是重要对象，而在所有但有限的特征 $p > 0$ 中的 genus $g \geq 4$ 的存在性仍是开放问题。作为解决此问题的数值方法，Kudo-Harashita-Howe (2020) 展示了在每个特征 $p$ 具有 $7 < p < 20000$ 的情况下，都存在 genus 为 4 的超特别曲线。他们的方法仅关注特定类别的曲线，即称为 Howe 曲线的曲线，其超特别性可简化为 genus 至少为 2 的曲线的超特别性。在本文中，我们关注更具体的曲线类别，即雅各比分解为四条椭圆曲线的 Howe 曲线。通过限制关注此类曲线，超特别性可简化为椭圆曲线的超奇性，这使我们能够比 Kudo-Harashita-Howe 方法更有效地构造 genus 为 4 的超特别曲线。作为我们的第一个主要结果，我们通过计算机确认，在特征 $p$ 具有 $20000 < p < 10^6$ 的情况下，存在此类 genus 为 4 的超特别曲线。采用类似方法，我们还提出了从仅由超椭圆曲线构造 genus 为 5 和 6 的超特别曲线的方法。此外，计算实验确立了在特征 $p$ 具有 $13 < p < 10^5$ (resp. $7 < p < 10^5$) 的情况下，存在 genus 为 5 (resp. genus 为 6) 的超特别曲线。