Stanley-Reisner 背景下 $G(r,1,n)$ 的广义协不变代数

设 $r$ 和 $n$ 为正整数，设 $G_n$ 为 $n \times n$ 单项矩阵构成的复反射群，其矩阵元素为 $r$ 次单位根，并设 $0 \leq k \leq n$ 为整数。近来，Haglund、Rhoades 和 Shimozono（$r=1$）以及 Chan 和 Rhoades（$r>1$）引入了 $n$ 变量多项式环 $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ 的商环 $R_{n,k}$（$r>1$ 时）和 $S_{n,k}$（$r \geq 1$ 时），当 $k=n$ 时它们退化为附属于 $G_n$ 的经典协不变代数。当 $n=k$ 且 $r=1$ 时，Garsia 和 Stanton 给出了一个同构于该协不变代数的 $\mathbb{C}[\mathbf{y}_S]$ 的商环，其中 $\mathbb{C}[\mathbf{y}_S]$ 是以非空子集 $S \subseteq [n]$ 为指标、含 $2^n-1$ 个变量的多项式环。本文中，我们将定义同构于 $R_{n,k}$ 和 $S_{n,k}$ 的类似商环。