广义量子包络代数、着色 Kac-Moody 代数与 Langlands 插值

本文在学位论文中提出一种 Kac-Moody 代数及其表示的新的形变过程。形变的方向由一组称为着色（colouring）的数给出。例如自然数给出经典代数，而量子数给出相应的量子代数。我们首先给出着色允许该过程关于形式参数多项式依赖并产生广义量子包络（GQE）代数的充分必要条件。随后我们去掉这些限制，并证明该过程通过着色 Kac-Moody 代数依然存在。我们提出 GQE 猜想，预测 Kac-Moody 代数的 Oint 范畴中的任一表示均可形变为相应 GQE 代数的表示。我们给出该猜想的多方面证据，并通过证明无 Serre 关系的 Kac-Moody 代数可形变为无 Serre 关系的 GQE 代数，朝解决该猜想迈出第一步。若猜想成立，我们建立了着色 Kac-Moody 代数的类似结果，证明形变表示理论与经典理论平行，显式给出 GQE 代数的形变 Serre 表示，证明后者是 Kac-Moody 代数的自然形式形变类的代表且在有限型下是 h-平凡的。作为一个应用，我们用插值解释了李代数表示之间经典与量子的 Langlands 对偶，并提出一种旨在证明 Frenkel-Hernandez 猜想的新方法。一般地，我们证明两个同构着色 Kac-Moody 代数的表示可由第三个的表示插值。观察到标准量子代数满足 GQE 猜想，我们给出了前述经典 Langlands 对偶的新证明。