秩为2的CM椭圆曲线上的广义Kato类

设 $E/\mathbf{Q}$ 为一条CM椭圆曲线，$p\geq 5$ 为 $E$ 的一个好的普通约化素数。假设 $L(E,s)$ 在 $s=1$ 处消失且在其函数方程中符号为 $+1$，从而特别地有 ${\rm ord}_{s=1}L(E,s)\geq 2$。在本文中，我们略微修改 Darmon--Rotger 的一个构造，定义一个广义 Kato 类 $\kappa_p\in{\rm Sel}(\mathbf{Q},V_pE)$，并证明如下 Kolyvagin 结果的秩二类比：$$\kappa_p\neq 0\quad\Longrightarrow\quad{\rm dim}_{\mathbf{Q}_p}{\rm Sel}(\mathbf{Q},V_pE)=2.$$ 反之，当 ${\rm dim}_{\mathbf{Q}_p}{\rm Sel}(\mathbf{Q},V_pE)=2$ 时，我们证明 $\kappa_p\neq 0$ 当且仅当限制映射 $${\rm Sel}(\mathbf{Q},V_pE)\rightarrow E(\mathbf{Q}_p)\hat{\otimes}\mathbf{Q}_p$$ 非零。这些结果扩展并加强了作者与 Hsieh 在非CM情形下的类似结果，其证明利用了广义 Kato 类非零性与反循环 Iwasawa 理论中的一个主猜想之间的新联系。