广义 Kato 类的非消失性与 Iwasawa 主猜想

Darmon--Rotger 提出的一种构造导出了广义 Kato 类 $\kappa_p(E)$，它们存在于正偶解析秩的椭圆曲线 $E/\mathbf{Q}$ 的 $p$-进 Selmer 群 ${\rm Sel}(\mathbf{Q},V_pE)$ 中，其中 $p>3$ 是 $E$ 的任意好普通约化素数。在某些情况下，他们猜想 $\kappa_p(E)\neq 0$ 当且仅当 ${\rm Sel}(\mathbf{Q},V_pE)$ 是二维的。该猜想的最初几个情况是在作者与 M.-L. Hsieh 的一项合作工作中获得的。在本文中，我们给出了前述文献中所确立的蕴含关系 $$\kappa_p(E)\neq 0\quad\Longrightarrow\quad{\rm dim}_{\mathbf{Q}_p}{\rm Sel}(\mathbf{Q},V_pE)=2$$ 的新证明，并表明其逆蕴含关系当且仅当限制映射 ${\rm loc}_p:{\rm Sel}(\mathbf{Q},V_pE)\rightarrow E(\mathbf{Q}_p)\hat\otimes\mathbf{Q}_p$ 非零时成立。本方法是将作者在 CM 椭圆曲线情形中引入的方法调整适用于非 CM 情形。