基于紧致上界的非交叉数的通用强下界

我们研究了由 Hlin\v{e}n\'y 和 Masa\v{r}\'ik 引入的用于在平面中可视化图的各种方面的绘图集合的最新概念。形式地，给定图 $G$，我们寻找出一个包含平面中 $G$ 绘图的非交叉集合，使得 $G$ 的每条边在集合中的至少一个绘图中不被交叉。$G$ 的非交叉数 ($unc(G)$) 是最小整数 $k$，使得大小为 $k$ 的 $G$ 的非交叉集合存在。非交叉数小于等于著名的厚度，该厚度将 $G$ 划分为平面图的边划分。这一联系给出平凡下界 $\lceil\frac{|E(G)|}{3|V(G)|-6}\rceil \le unc(G)$。在最近的论文中，Balko 等人 [GD 2024] 提出了非交叉数的第一个非平凡且通用的下界。我们以稠密图（其中 $|E(G)|=\epsilon(|V(G)|)^2$，其中 $\epsilon>0$）为条件概述：$\lceil\frac{|E(G)|}{c_\epsilon|V(G)|}\rceil \le unc(G)$，其中 $c_\epsilon\ge 2.82$ 是取决于 $\epsilon$ 的常数。我们改进下界，使其表述为：$\lceil\frac{|E(G)|}{3|V(G)|-6-\sqrt{2|E(G)|}+\sqrt{6(|V(G)|-2)}}\rceil \le unc(G)$。转化为稠密图 regime，此下界得到乘性常数 $c'_\epsilon=3-\sqrt{(2-\epsilon)}$ 于表达式 $\lceil\frac{|E(G)|}{c'_\epsilon|V(G)|+o(|V(G)|)}\rceil \le unc(G)$。因此，对于 $\epsilon \approx \frac{1}{2}$（如完全图所示），该下界紧致（在低阶项上）。事实上，我们以最大非交叉子图数（即图 $G$ 中在平面中绘图中不被交叉的边的最大数目）的语言中形式化我们的結果，这种情况下我们还提供一种建构，证明我们的下界在所有 $\epsilon>0$ 的稠密图上渐进紧致（在低阶项上）。