拟生灭过程的Poisson方程通解

我们考虑Poisson方程 $(I-P)\boldsymbol{u}=\boldsymbol{g}$，其中 $P$ 是具有无限多个层次的拟生灭过程（Quasi-Birth-and-Death, QBD）的转移矩阵，$\bm g$ 是给定的无限维向量，$\bm u$ 是未知量。我们的主要结果是给出该方程的通解。为此，我们利用矩阵 $P$ 的块三对角和块Toeplitz结构得到一组矩阵差分方程，通过构造合适的预解三元组求解。