$S$ 个物种成对竞争系统的一般性质

我们考虑一个由 $S$ 个物种组成、包含 $N$ 个个体的系统，它们成对相互作用：$x_m+x_\ell \rightarrow 2x_m\,\,$，具有任意概率 $p_m^\ell$。在没有空间结构的情况下，主方程在平均场近似下产生了一组简单的速率方程，这是本文的重点。通过推广最近关于循环竞争的三物种和四物种模型的发现，我们将这些方程转化为一种极具吸引力的简单形式。结果，此类系统的许多一般性质很容易被发现，例如偶数与奇数 $S$ 情况之间的主要差异。此外，我们找到了存在不动点（及其子空间）和以平凡方式演化（指数演化或不变）的集体变量的判据。这些明显不同的方面可以追溯到与相互作用矩阵 $p_m^\ell$ 相关的零空间。与左、右零特征向量相关，这些似乎是动力学的“对偶”方面。我们还讨论了如何将标准的 Lotka-Volterra 方程（包含出生/死亡项）视为成对相互作用系统的一种特殊极限。