Tolman 定律的一般性证明

Tolman 提出，处于热力学平衡中的静态自引力流体的固有温度 $T$ 满足关系 $\chi T=constant$，其中 $\chi$ 为时空的红移因子。Tolman 定律已在稳态时空中的辐射以及稳态、渐近平直且轴对称的时空中的完美流体情形下得到证明。目前尚不清楚该证明能否推广到更一般的情况。本文中，我们证明在若干合理条件下，Tolman 定律对稳态时空中的完美流体始终成立。我们证明中的关键假设是粒子数密度 $n$ 不能由能量密度 $\rho$ 和压强 $p$ 通过状态方程确定。这对于许多已知满足状态方程 $p=p(\rho)$ 的流体是成立的。进而，通过要求流体总熵在度规固定时对 $n$ 的变分为极值，我们证明了 Tolman 定律。在我们的证明中，仅使用了应力能量的守恒与总粒子数守恒，未涉及任何场方程。我们的工作表明，Tolman 定律对稳态时空中的一般完美流体成立，甚至超出广义相对论的范围。