相对论理想流体恒星的动力学与热力学稳定性

我们考虑广义相对论中的理想流体天体（恒星），其特征由粒子数密度和每粒子熵描述。若恒星是爱因斯坦 - 流体方程组具有环流的稳态轴对称解，则称其处于动力学平衡。我们证明，对于处于动力学平衡的恒星，热力学平衡（总熵 $S$ 取极值）的充要条件是角速度 ($\Omega$)、红移温度以及红移化学势为常数。Friedman 此前已将正则能量 $E$ 的正定性确定为动力学稳定性的判据，并论证所有旋转恒星对于足够非轴对称的扰动都是动力学不稳定的（即 CFS 不稳定性），因此我们的主要关注点在于轴对称稳定性。我们表明，对于处于动力学平衡的恒星，若 $E$ 在轴对称拉格朗日扰动的某个特定子空间 $V$ 上为正（特别是那些角动量密度无拉格朗日变化的扰动），则针对所有轴对称扰动均满足模态稳定性。反之，若 $E$ 在 $V$ 上不为正，则存在无法在晚期渐近趋于稳态的扰动。我们进一步表明，对于处于热力学平衡的恒星，旋转参考系中的正则能量 $E_r$ 与 ADM 质量 $M$ 和角动量 $J$ 的二阶变化相关，关系式为 $E_r = \delta^2 M - \Omega \delta^2 J$。因此，对于 $\delta J = 0$ 的扰动，$E_r$ 的正定性是热力学稳定性（$S$ 的局部极大值）的必要条件。对于轴对称扰动，我们有 $E = E_r$，因此关于轴对称扰动的热力学稳定性的一个必要条件是 $E$ 在所有满足 $\delta J = 0$ 的扰动上为正，而不仅仅是在 $V$ 中的扰动上为正。我们的许多结果与 Hollands 和 Wald 关于黑洞理论的结果高度平行。