面向神经 PDE 求解器的广义协变性数据增强
数值分析
2023-06-01 v2 数值分析
摘要
日益增长的研究表明如何用神经网络替代经典的偏微分方程（PDE）积分器。流行策略是用 PDE 求解器生成输入输出对，在回归设定下训练神经网络，并将训练后的模型用作求解器的廉价代理。该方案的瓶颈在于生成数据集所需的对 PDE 求解器的大量昂贵查询。为缓解此问题，我们提出一种基于广义协变性和简单随机坐标变换的计算廉价增强策略。我们的方法依赖于物理定律独立于坐标选择这一事实，因此坐标系统的改变保持参数化 PDE 的类型不变，仅改变 PDE 的数据（如初始条件、扩散系数）。对于所尝试的神经网络和偏微分方程，所提出的增强将测试误差平均改善 23%。最差观察结果是多层感知机的测试误差增加 17%，最佳情况是空洞残差网络的测试误差减少 80%。
引用
@article{arxiv.2301.12730,
title = {General Covariance Data Augmentation for Neural PDE Solvers},
author = {Vladimir Fanaskov and Tianchi Yu and Alexander Rudikov and Ivan Oseledets},
journal= {arXiv preprint arXiv:2301.12730},
year = {2023}
}
备注
accepted to ICML 2023