为少样本神经 PDE 求解器预生成多难度 PDE 数据
机器学习
2026-01-26 v2 流体动力学
摘要
学习型偏微分方程 (PDE) 求解器的关键在于，主要成本往往来自使用经典求解器生成训练数据，而非模型本身的学习。另一个关键点是，问题在难度轴向上存在明确的层次——例如，几何更复杂、雷诺数更高——这些问题对经典求解器更具挑战性，从而更有可能受益于神经网络加速。为解决这一鸡生蛋问题，我们在二维不可压缩 Navier-Stokes 方程上系统性地研究了难度迁移，沿着几何（障碍物的数量和位置）、物理（雷诺数）以及它们的组合进行任务复杂度的变异。类似于为基础模型进行预训练以提高其在下游任务上的性能，我们发现，通过经典求解大量低和中难度示例并将其包含在训练集中，可以用更少的样本学习高难度物理。此外，我们表明，通过组合低难度和高难度数据，可在预生成数据集上节省 8.9 倍的计算资源，即可获得与仅使用高难度示例相同的结果。我们的研究表明，如何在难度水平上分配经典求解器计算资源与整体分配多少同等重要，建议通过原则性地筛选预生成的 PDE 数据可为神经求解器带来显著的性能提升。我们的代码已公开于 https://github.com/Naman-Choudhary-AI-ML/pregenerating-pde。
引用
@article{arxiv.2512.00564,
title = {Pre-Generating Multi-Difficulty PDE Data for Few-Shot Neural PDE Solvers},
author = {Naman Choudhary and Vedant Singh and Ameet Talwalkar and Nicholas Matthew Boffi and Mikhail Khodak and Tanya Marwah},
journal= {arXiv preprint arXiv:2512.00564},
year = {2026}
}
备注
10 Pages, 11 Figures